Matemáticas financieras: definición, fórmulas y ejemplos aplicados a la inversión

Las matemáticas financieras son la rama de las matemáticas para entender cómo el dinero cambia de valor con el tiempo. Aplicadas en el mundo de las finanzas, nos ayudan a tomar mejores decisiones en inversiones, préstamos y cálculo de intereses.

Se encarga del estudio de las operaciones financieras, en donde se intercambian flujos de dinero que pueden sufrir variaciones cuantitativas en el tiempo. Esto se debe a que el capital, gracias al tiempo que pasa depósito, genera intereses.

En este artículo, abordaremos qué son, sus aplicaciones básicas y ejemplos prácticos para facilitar su comprensión. Además, aprenderás a diferenciar entre interés simple e interés compuesto, el valor presente, y el impacto de la inflación en el dinero.

¿Qué son las matemáticas financieras?

El dinero pierde su valor en el tiempo, por ejemplo, una cantidad determinada que se recibe en el futuro perderá su valor, debido a la inflación y la subsecuente pérdida del valor adquisitivo. Si no hubiera inflación, de igual manera el dinero futuro valdría menos que en el presente y esto sucede porque los consumidores prefieren utilizar el consumo corriente contra el consumo futuro, con la posibilidad de hacer sus inversiones en los recursos en proyectos que tienen un rendimiento real.

Este análisis es clave para entender conceptos como el costo de oportunidad, el valor presente y las proyecciones de capital.

Por ejemplo, el dinero que se tiene hoy no vale lo mismo que el dinero que se recibirá en el futuro. Factores como la inflación y el interés compuesto afectan su valor real.

Principales conceptos:

Interés simple: El interés simple es el más básico de los intereses. Se calcula siempre sobre el capital inicial y no considera los intereses generados en periodos anteriores. Su fórmula es: M = C × (1 + i × t)
Interés compuesto: A diferencia del interés simple, el interés compuesto considera los intereses generados en periodos anteriores, haciendo que el capital crezca más rápido. Fórmula del interés compuesto: M = C × (1 + i)^t
Valor presente y valor futuro: El valor presente (VP) permite calcular cuánto vale hoy un flujo de dinero futuro, descontando una tasa de interés. Fórmula del valor presente: C = M / (1 + i)^t. Por otro lado, el valor futuro (VF) permite conocer cuánto valdrá una inversión o capital actual después de cierto tiempo, aplicando una tasa de interés. Fórmula del valor futuro: VF = C × (1 + i)^t
Amortización de créditos: La amortización de créditos es el proceso de pagar un préstamo mediante cuotas periódicas que cubren tanto el capital como los intereses. Fórmula para calcular la cuota: C = (P × i) / (1 - (1 + i)^-n)
Anualidades: Las anualidades son una serie de pagos iguales realizados a intervalos regulares, por ejemplo, para pagar una hipoteca o recibir una pensión. Fórmula de la anualidad ordinaria (vencida): A = (C × ((1 + i)^n - 1)) / i

Clasificaciones de las matemáticas financieras

Dentro de las matemáticas se estudian las operaciones financieras simples y las complejas, la definición es la siguiente:

Fuentes de ingresos financieros

Simple: Analiza los dineros que provienen de un solo capital (Denominados intereses).
Complejas: Analiza los dineros que provienen de más de un capital (Denominadas Rentas).

Otra clasificación es la aplicación de las operaciones de la aplicación, donde dependiendo la temporalidad, pueden existir dos grandes principios:

Principio de Capitalización: Cuando tengo flujos al día de hoy y quiero saber cuánto tendré a futuro
Principio de Descuento: Cuanto flujo tendré a futuro y quisiera saber cuánto vale el día de hoy.

Tipos de principios financieros

El propósito de poder analizar esta corriente, se repunta por el principio que el dinero pierde valor en el tiempo, ¿Se ha dado cuenta de que comprar un paquete de papas fritas antes valía $200 y ahora vale $500?, alguna gente lo considera como “Inflación”, pero no necesariamente es solo eso.

También existe otro factor que se denomina “Costo de Oportunidad”, donde este dice que es lo que yo sacrifico por disponer de los flujos en un concepto y no otro.

Ejemplo: “Usted posee $100.000 el día de hoy, de lo cual los puede gastar en hacer una fiesta, o si no invertir y en dos meses más, recibir $105.000”, si usted elige la primera opción, el costo de oportunidad sería dejar de ganar $5.000, si elige la segunda opción, el costo de oportunidad consiste en no hacer la celebración.

Por lo cual las matemáticas financieras nacen para analizar flujos y dependiendo la decisión que quiera tomar, poder añadir o quitar este concepto que denominaremos momentáneamente como “suma de la inflación y costo de oportunidad”.

Todo lo anteriormente señalado, se denomina “pérdida de valor en el tiempo”, y cumple con ciertos principios elementales:

Ante dos capitales de igual monto en distintos momentos, se preferirá el que sea de tiempo más cercano.
Ante dos capitales de distinto importe, pero en un mismo momento, se preferirá el de monto más alto.

Todos estos principios y bases, se utilizan para comparar flujos que por defecto del tiempo no pueden ser comparables. Si usted tuviera $100.000 el día de hoy y $100.000 en 2 años más, nominalmente siguen siendo $100.000, pero el valor es más alto hoy, dado que lo que puede adquirir hoy es más de lo que podrá con el mismo valor nominal a futuro. Por ende, las matemáticas financieras cumplen ese rol.

Operaciones financieras simples

Para analizar operaciones financieras simples, tenemos que hacer referencia a lo mencionado anteriormente, el interés simple y compuesto.

Aún así, un pequeño ejemplo del interés simple teniendo en cuenta la fórmula mencionada anteriormente:

Supongamos que inviertes $1,000 con una tasa de interés simple del 5% anual durante 3 años: M = 1,000 × (1 + 0.05 × 3) = 1,150 El monto final después de 3 años será de $1,150. Esta es una transición ideal para hablar sobre el interés compuesto, que funciona de manera diferente al interés simple.

Y por otro lado, el interés compuesto:

Si inviertes $1,000 a una tasa de interés compuesto del 5% anual durante 3 años: M = 1,000 × (1 + 0.05)^3 ≈ 1,157.63 El monto final será de $1,157.63, lo que demuestra cómo el interés compuesto genera más valor que el interés simple.

Operaciones financieras complejas

También denominada renta, este concepto analiza múltiples capitales y múltiples escenarios de tiempo, dada la complejidad, se tocará dicho tema en otro blog, pero el día de hoy indicaremos algunos tópicos a considerar para este tipo de operaciones:

La renta puede ser analizada como temporal (a un cierto periodo) o perpetua (sin periodo definido).
La renta se puede analizar bajo la modalidad de vencida (que el pago o cobro se hace posterior a una fecha indicada) o anticipada (que se hace previo a una fecha indicada).
El pago puede ser inmediato o diferido (que se conoce la obligación o el derecho y se registra el día de hoy a pesar de que el pago o la cobranza se verá a futuro). Algunas fórmulas a aplicar son las siguientes:

Ejemplo 1

Ejemplo 2

Factores que afectan el valor del dinero

El valor del dinero cambia con el tiempo debido a diversos factores económicos y financieros. Entre los más relevantes se encuentran:

Factores que afectan el valor del dinero

Inflación

La inflación es el aumento sostenido de los precios de bienes y servicios a lo largo del tiempo, lo que reduce el poder adquisitivo del dinero. Es decir, con la misma cantidad de dinero en el futuro se podrán comprar menos bienes y servicios que en el presente.

Si la tasa de inflación anual es del 3%, un producto que hoy cuesta $100 valdrá aproximadamente $103 en un año. Esto significa que el dinero pierde valor con el tiempo si no se invierte adecuadamente.

Costo de oportunidad

El costo de oportunidad es el valor de la mejor alternativa no elegida al tomar una decisión financiera. Es fundamental en la toma de decisiones, ya que nos permite evaluar qué opción genera mayores beneficios a largo plazo.

Si tienes $1,000 y decides gastarlos en un viaje en lugar de invertirlos en un fondo con una rentabilidad del 5% anual, el costo de oportunidad es el rendimiento que hubieras obtenido de esa inversión, es decir, $50 al año.

Matemáticas financieras: términos más utilizados

A la hora de estudiar las matemáticas financieras suelen existir ciertos términos más utilizados que otros, lo que significa entender la jerga de las matemáticas:

Derivadas climáticas: Se refiere a que los productos financieros y su flujo están relacionados con un evento climático, suele aplicarse respecto a las a empresas agrícolas y turísticas.
Derivadas de crédito: Se refiere a los productos y que su flujo dependen de eventos de crédito.
Intereses de préstamos bancarios: Los préstamos fluctúan con base en el coste del dinero y del riesgo de impago de parte del prestatario.
Coste del dinero: El solicitar un préstamo implica un coste, el que se relaciona con la curva de tipos de interés. Dicha curva se basa en la moneda, siendo fija por el mercado.
Coste del riesgo: El sector bancario compensa el riesgo de impago. Mediante una hipoteca o mediante la prima de riesgo adicional.
Intereses: comentados anteriormente, se aplica dos tipos de intereses en las matemáticas financieras: el interés simple (respecto a la definición de interés), se calcula sobre la base del total de un capital inicial. El interés compuesto (se toma en cuenta como base de cálculo el capital inicial y los importes de intereses generados por la inversión).

Sácales el máximo provecho

Las matemáticas financieras son la columna vertebral de las decisiones financieras inteligentes. Sin ellas, no podríamos calcular herramientas clave como el Valor Actual Neto (VAN), la Tasa Interna de Retorno (TIR) o elaborar tablas de amortización para préstamos.